多少限定的な状況下ではありますが、Microsoft AzureにデプロイしているASP.NET Coreの起動時にエラーが発生したときには、こちらのドキュメントを参照するとよいです。
HTTP 502.5エラーとHTTP 500エラーの2種類あり、それぞれ確認する項目が異なります。
個人的にはASP.NET Coreの起動時にエラーが発生する原因は以下のように考えています。状況を切り分けるポイントというところです。
Program.csまたはStartup.csでの処理に不備があるStartup.csで参照している外部リソース（DBなど）に障害が起きている- ASP.NET CoreをホストしているWebサーバーそのものに障害が起きている
- クラウドプラットフォームに障害が起きている
細かな状況や原因は、上記ドキュメントの手法に従ってログを確認して特定することになります。
Azureにデプロイしている場合、Visual Studioからリモートデバッグを行うことができるので、これでさくっと原因特定しちゃいましょう。
